三角函数是数学中一种基本且重要的工具，其主要研究的是直角三角形中的边长与角度之间的关系，并通过扩展推广至整个实数域和复数域。在平面坐标系下，正弦（sin）、余弦（cos）以及正切（tan）等六种常见的三角函数均可以描绘出独特的曲线图像——即它们各自的波浪线图形。
首先，我们来看一下最基本的两种：正弦函数y = sin(x)及余弦函数y = cos(x)，他们的定义域均为所有实数R，在一个周期内(-π到+π或-2π到2π），这些图像是连续、光滑的周期性波动曲线，其中：
1. **对称性** - 正弦函数关于原点(0, 0)中心对称；而余弦函数则关于直线x= kπ (k为整数)轴对称。
2. **单调性** - 在每个半周期[0, π]或者[-π/2, π/2]区间上，正弦函数从最小值逐渐上升到最大值得过程中具有严格的单调递增特性，反之则是单调递减。对于余弦函数而言，则是从最大值下降到最小值的过程表现出单调递减属性，反过来又是单调递增。
3. **周期性和最值** - 这两个函数都是以2π为其基频周期，意味着当变量增加或减少2π时，对应的函数值会重复出现。并且，不论何时，正弦函数的最大值始终为1，出现在x=kπ+(±π/2)(k∈Z)处；最低值为-1，位于x=kπ(k∈Z)处。而对于余弦函数来说，它的极大值同样为1但发生于x=kπ(k∈Z), 极小值也为-1却是在 x=(k+1/2)π(k∈Z) 处取得。
接下来讨论正切函数 y=tan(x)，它是由正弦除以余弦得到的比值表达式。因此，尽管也具备周期性特征，但在每一个周期长度仍为π的情况下，相较于前两者有更显著的特点：
4. **渐近线** - tan(x) 的图像存在无数条垂直渐进线，分别对应着使分母cos(x)=0的所有解，也就是x=kπ + （½）π (k属于全体整数）。这意味着在这些位置，正切函数趋向无穷大或负无穷大，无实际取值。
5. **单射性** - 去掉所有的渐近线后，正切函数在其每一开区间 (-(n+1)/2π,(n+1)/2π) 内是一一映射的，也就是说在这个范围内它是严格单调递增的。
综上所述，通过对三种常见三角函数图像与其性质进行深入剖析，我们可以发现他们各自鲜明的规律特点，如周期性、奇偶性、极值分布、单调变化趋势以及特定几何结构上的对称性等等。这不仅有助于理解并掌握各类三角函数的基本概念，更为后续复杂的解析运算奠定了坚实的基础。同时，这种深层次的认知也有利于将抽象的数学知识应用于物理现象分析、工程计算乃至信号处理等多个领域之中。
