### 稀疏矩阵及其优势
所谓稀疏矩阵，是指其大部分元素都是0的一种特殊的矩形数组结构。相较于全阵列（dense matrix），它仅储存并计算那些非零元素，从而极大地节省了内存空间，并显著提升了相关算法运行的速度，尤其适用于大型线性系统求解等问题场景。
### 创建稀疏矩阵：`sparse` 函数解析
**基本用法**
matlab
S = sparse(i,j,s,m,n)
在这个调用格式里：
- `i`: 一个向量，包含了所有非零元对应的行索引。
- `j`: 对应于非零项的一个相同长度的向量，提供了这些数值所在的列索引。
- `s`: 同样大小的一维数组，包含对应 `(i, j)` 的非零条目值。
- `m`, `n`: 分别定义生成矩阵 S 的总行数和列数，默认不提供则由最大出现的 i 和 j 决定。
例如：
matlab
i=[1;2];
j=[3;4];
s=[5;6];
S=sparse(i,j,s);
将创建一个如下所示的 2x4 稀疏矩阵:
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|------|------|-------|--------|
| **1** | 0 | 0 | **5** | 0 |
| **2** | 0 | 0 | 0 | **6** |
**转换至/自 dense 矩阵**
已存在的密集型矩阵可通过以下方式转化为稀疏形式：
matlab
A_dense = [1 zeros(1,9) 2 ;zeros(8,10)];
S_sparse = sparse(A_dense);
反之亦然，
matlab
full(S_sparse)
可以还原成稠密矩阵。
### 实际应用案例
假设有一个巨大的对称三对角矩阵需要进行 Cholesky分解或者LU因子化等操作，则利用`sparse`函数首先将其构建成稀疏矩阵再执行相应算法能大幅度提升性能表现。
matlab
% 构造一个5阶对称且主对角线上方两个副对角线有随机非零整数的大规模稀疏矩阵
row_idx = tril([ones(size(diag(triu(randi([-10, 10], [5 5])))))] + eye(5));
col_idx = rowidx.';
data_values = randi([-10, 10], sum(row_idx(:)), 1);
SpSymmetricMatrix = sparse(row_idx,col_idx,data_values,5,5,'symmetric');
% 进行业务逻辑相关的操作如Cholesky分解...
[ L,U ] = chol(SpSymmetricMatrix);
总之，《MATLAB中的稀疏矩阵创造与操控》一文中详细阐述的"sparse"函数，无疑为我们高效解决涉及大量零元素的问题开辟了一种新的途径。通过合理运用此功能，我们可以在保证结果准确性的同时大大优化程序的空间复杂度以及时间效能。