首先理解基本概念：离散傅里叶变换是对给定长度为 N 的复数序列 x[n] 进行操作，将其映射成另一个同样大小但代表其不同正负频率分量幅度及相位的新序列 X[k]：
\[X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}{x_n e^{-j2{\pi}\frac{kn}{N}}}, \quad k = 0,...,N-1.\]
MATLAB 提供了两种主要的方式来计算并应用离散傅里叶变换：
**fft() 函数**
`Y = fft(X)`是MATLAB中最基础且最常用的执行快速傅里叶变换(FFT)的命令，它可以高效地对向量或矩阵进行一维或者多维度的DFT运算。其中输入变量 `X` 表示要转化的数据序列，并返回结果数组 `Y` 即对应的频谱值。
例如：
matlab
% 假设我们有一个8点采样的简单三角波形
t = 0:.5:7;
x = sawtooth(2*pi*t);
y = fft(x);
% 打印出原始信号以及经过 FFT 后的结果
figure; subplot(2,1,1); plot(t,x,'.-'); title('Original Signal');
subplot(2,1,2); stem(abs(y));title('Magnitude Spectrum of theSignal using_fft_ Function');
**ifft() 函数**
对于逆离散傅里叶变换（Inverse Discrete Fourier Transform,IDFT），可以使用 `ifft()` 函数实现由频域回到时域的过程:
`\[x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X_k e^{j2{\pi}\frac{nk}{N}}}。\]
`
例程如下:
Matlab
% 计算IDFT以验证上述过程可逆性
xn_recov = ifft(y)./length(y);
% 比较原信号与恢复后的信号
figure; hold on;
plot(t, xn_recov ,'r', t, x , 'b--' );
legend ('Recovered signal from IDFT','Originalsignal');
xlabel('Time Index'); ylabel('Amplitude');
此外,MATLAB还提供了诸如fftfreq(), freqspace()等辅助函数用于生成对应于DFT输出索引的连续频率轴标签，便于解读频谱图含义。
总结来说，通过熟练掌握并在实际问题中运用这些内置函数如fft/ifft及其配套功能，用户可以在MATLAB环境中轻松完成各种复杂度的离散傅立叶变换任务，从而深入探索和揭示各类时间序列背后的周期性和波动特性。